4.5 随机变量的高阶矩​

4.5 随机变量的高阶矩 ​高阶矩的意义:

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原点矩与中心矩 ​设 X,Y 都是随机变量

若 E(|X|k)<+∞(k=1,2,⋯), 则

X 的 k 阶原点矩 为

E(Xk)正态分布的 n 阶中心矩由 Gamma 函数与对称性可得

E(Xn)={0,n=2k+1,(2k−1)!!σ2k,n=2k.X 的 k 阶中心矩 为

E{[X−E(X)]k}若 E(|X|k|Y|l)<+∞(k,l=1,2,⋯), 则

X,Y 的 k+l 阶混合原点矩 为

E(XkYl)X,Y 的 k+l 阶混合中心矩 为

E{[X−E(X)]k[Y−E(Y)]l}协方差矩阵 ​设 (X1,X2,⋯,Xn) 是 n 维随机变量, 且其分别都存在二阶矩,

记 cij=cov(Xi,Xj),i,j=1,2,⋯,n,

则 n 维随机变量的协方差矩阵为

C=(c11c12⋯c1nc21c22⋯c2n⋮⋮⋮cn1cn2⋯cnn)C 为对称矩阵, 因为 cij=cji协方差矩阵的性质 ​对任意实数 t1,t2,⋯,tn,D(t1X1+t2X2+⋯+tnXn)=(t1,t2,⋯,tn)C(t1t2⋮tn)C 为半正定矩阵